acabo de subir mis tareas, pero veo que no llegan con el formato que le asigne en word y tampoco las imagenes...
Saturday, October 1, 2011
Problema 25
Evento A:
En una aurna hay pelotas
rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules numeradas del 1 al 15. ¿Cuál es la
probabilidad de que al extraer al azar una pelota sea roja y no tenga el número
5?
Introduccion
Analisis del
problema: sabemos que tenemos 10 posibilidades de 25 de sacar una pelota roja y
15 de 25 de que sea azul, es decir 10/25 y 15/25 respectivamente. Pero como nos
piden una condicion de que sea roja y no tenga el numero 5.
Entonces se hace este
planteamiento:
Sea el evento A: cuando se
estrae una pelota roja.
Sea el evento B: si la
pelota que se estrajo tiene el numero 5.
 |
Desarrollo
Teniendo en cuenta que la probabilidad de que ocurra el
evento B es posible si ocurre el evento A, se hace referencia a la relacion
P(A-B)=P(A)-P(A∩B)
Como lo menciono anteriormente la probabilidad de que
ocurra el evento A de de 10/15, entonces la probabilidad de que ocurra el
segundo evento una vez ocurrido el primero es de 1/15. tomando en cuenta que
solo hay una pelota roja marcada con el numero 5 del total de 15 pelotas.
10
P(A)= ―
15
1
P(A∩B)= ―
15
Apliacando la relacion para obtener la probabilidad.
10 1
9
P(A-B)= ― - ― = ― = 0.6000 = 60%
15 15
15
Conclusion
Cuando se aplicó la
anterior relacion, se nota que es
necesario conocer cuando aplicar la intercepcion, en dos conjuntos de datos.
Ahora bien se presenta otra
alternativa mas facil, aplicando la frecuencia relativa:
Tomando en cuenta el
espacio muestral.
S= {R1, R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 A1 A2 A3 A4 A5}
A: la
pelota es roja y no es el numero 5
A= {R1, R2 R3 R4 R6 R7 R8 R9 R10}
Probabilidad
de casos 9
P(A)= ―――――――――――――― = ―
= 0.60= 60%
Total de casos 15
Problema 26
La probabilidad de que
Antonio gane un juego de tenis es de 2/5 y la probabilidad de que Juan gane es
de ¼. ¿Cuál es la probabilidad de que Antonio gane el torneo en que participa
si en el juego final se enfrenta a Juan?
introduccion
Sea el evento A: gane
Antonio
Sea el evento B: gane Juan
Nos damos cuenta que el
evento que nos interesa es el evento A, osea el que Antonio gane y Juan Pierda.
Aplico la siguiente relacion de intercepcion, tomando en cuenta que implica una
multiplicacion.
desarrollo
2 1
2
P(A∩B)= ― * ― = ―
5 4 20
P(A-B)=P(A)- P(A∩B)
2
2 8-2 6
= ― * ― = ―-- =
- = 0.3 = 30%
5 20
20 20
conclusion
Como se ce en el desarrollo del
problema, nos damos cuenta de que es una relacion dependiente, es decir para
que exista la probabilidad de que Antonio gane Juan tiene que perder.
Problema
27
introduccion
Sea A
y B dos sucesos donde la probabilidad de A= ¾ y la probabilidad de B= 3/8. en
base a la siguiente relacion:
P(A∩B)=P(B∩A)=1/8
Calcular :
a)
P(A’∩B)
b)
P(A∩B’)
c)
P(AUB)
d)
P(A’UB’)
Desarrollo:
Desarrollando el inciso a)
P(A-B)=P(A)-P(A∩B) (1)
P(A-B)=P(A∩B’)-P(B’∩A) (2)
De (2) intercambiamos A y B
P(B-A)=P(B∩A’)-P(A’∩B) (3)
De (1) intercambiamos A y B
P(B-A)=P(B)
-P(A∩B) (4)
De (3) y (4):
P(A’∩B)=P(B)-P(A∩B)
3
1 2 1
= ― - ― = ― =
- (5)
8 8 8
4
b) de P(A-B)=P(A∩B’)
P(A-B)=P(A)-P(A∩B)
Igualando estas dos relaciones tenemos
P(A∩B’)=P(A)-P(A∩B)
3
1 5
= ― - ― = ― (6)
8 8 8
c) sustituyendo A por A’ en (2)
P(A’-B)=P(A’∩B’) (7)
Sustituyendo A por A’ en (1)
P(A’-B)=P(A’)-P(A’∩B) (8)
De (7) y (8) se
obtiene:
P(A’∩B’)=P(A’)-P(A’∩B) (9)
P(A’)=1-P(A)=1-¾ = ¼ (10)
De sustituir (5) y (10) en (9) se obtiene
P(A’∩B’)= ¼-¼=0 (11)
d) P(A’UB)=P(A’)+P(B)-P(A’∩B) (12)
sustituyendo (10) en (12)
P(A’UB)= ¼+3/8-¼=3/8
Conclusion:
Viendo la introduccion del
problema se tiene que P(A)¾ , P(B) 3/8 y la intercepcion de estos dos eventos
es 1/8.
Cabe aclarar que estos ejercicios también se pueden
representar de una forma mas facil para el lector si se utilizan los diagramas
de venn.
Evento A:|
1/4
|
2/4
|
3/4
|
|
Evento B:
|
1/8
|
2/8
|
3/8
|
4/8
|
5/8
|
6/8
|
7/8
|
8/8
|
Entonces
resolviendo:
a): El resultado es lo que no esta en A
multiplicado por lo que esta en B
b): El resultado es lo que esta en A multiplicado por lo que no esta en B
c): El resultado
es lo que esta en A junto con lo que esta en B
d): El resultado es lo que no esta en A multiplicado por lo que no esta en
B
Mica
PROBABILIDAD
Introducción
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos
ACTIVIDAD I
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue hasta los 40 años, si de acuerdo con una tabla de mortalidad cada 93,745 personas de 25 años de edad solo 87,426 llegan a los 40 años? R= 87,426 / 93,745= 0.9325 La probabilidad es de un 93%
ELABORACIÓN DE UN HISTOGRAMA CONSIDERANDO LAS ESTATURAS DE LOS ALUMNOS DE LA LIC. EN MATEMÁTICA EDUCATIVA.
ESTATURAS ni 156 1 157 1 158 2 160 1 165 2 168 1 169 1 170 1 172 1 174 1 180 1 TOTALES 13
Amplitud del rango
180-156 = 24
13= 3.6 = 4
24/ 4 = 6
Intervalo mi Ni fi Ni Fi
156--162 159 5 5/13=0.384 5 5/13=0.384
162--168 165 2 2/13=0.153 7 7/13=0.538
168--174 171 4 4/13=0.307 11 11/13=0.846
174--180 177 1 1/13=0.076 12 12/13=0.923
180--186 183 1 1/13=0.076 13 13/13=1
Total 13
HISTOGRAMA
ESTATURAS DE ALUMNOS
PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA ABSOLUTA
Introducción a la probabilidad.
En la actualidad vemos que la teoría de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos de negocios. Los seguros y prácticas actuariales se basan firmemente en los principios de la teoría de la probabilidad. Las pólizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad, las cuales a su vez se basan en las probabilidades de muerte en edades específicas. Otras tasas de seguros tales como seguro de bienes raíces y de automóviles se determinan de manera similar. La probabilidad también juega un papel importante en la estimación del número de unidades defectuosas en un proceso de fabricación, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por cobrar y las ventas potenciales de un nuevo producto. Incluso los apostadores profesionales en eventos deportivos deben tener una comprensión sólida de la teoría de la probabilidad.
Problema 1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue a sobrevivir hasta los 40 si de acuerdo con una tabla de mortalidad, de caa 93 745 personas de 25 años de edad sólo 87 426 llegan a los 40 años.
Solución:
Como h=87426
n=93745
Probabilidad S= personas que llegan a los 40 años = 87 426
Total de personas de 25 años 93 745
= 0.9325 (se tomaron cuatro cifras decimales)
Problema 2
En una caja hay 25 tornillos en buen estado y 80 defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de sacar de la caja un tornillo en buen estado?
Solución:
Como h=25
N=80+25
Probabilidad S= Numero de tornillos en buen estado = 25 = 25
Total de tornillos en la caja 25+80 105
=0.2380
Probabilidad en porcentaje = 0.2380 (100) =23.80%
Problema 3
De cada 1000 personas a las que se les practica una revisión médica, 35 tienen problemas de vista. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona examinada tenga alguna enfermedad en los ojos?
Solución:
Como h=35
n= 1000
Probabilidad S = número de personas con problemas de la vista = 35 = 7
Total de personas examinadas 1000 200
Probabilidad en porcentaje = 0.035(100)= 3.5%
Problema 4
En una caja hay 75 canicas azules y 225 rojas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener al azar una canica azul?
Solucion:
Como h= 75
n= 75+225
Probabilidad S= numero de canicas azules = 75 = 75
Total de canicas en la caja 75 + 225 300
=0.25
Probabilidad en porcentaje = 0.25 (100)=25%
CONJUNTO POTENCIA
En matemáticas, dado un conjunto S, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota por P(S) o 2S) al conjunto de todos los subconjuntos de S.
En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia. Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
El conjunto potencia de un conjunto S, junto con las operaciones de la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico de álgebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al álgebra booleana del conjunto potencia de un conjunto finito. Para las álgebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero cada álgebra booleana infinita es sub-álgebra de una álgebra booleana de parte.
INTRODUCCIÓN
La teoría de conjuntos es una rama de la matemática relativamente moderna cuyo propósito es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teoría es reconocida como los fundamentos mismos de las matemáticas. La teoría de conjuntos fue desarrollada por el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones hechas por él mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonométricas de Fourier. La teoría de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de artículos y libros, de los cuales pueden destacarse sus Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.
El propósito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemáticos (Pitágoras, Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado.
PROBLEMA
Conjunto potencia de [ 1,2,3, 4]
S= { }, { 1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {3,2,4}, {4,3,1}, {1,2,3,4}
PROBABILIDAD DE UNA DIFERENCIA
La probabilidad de una diferencia se aplica cuando se quiere obtener la probabilidad de que un suceso determinado ocurra y que simultáneamente otro suceso, también determinado, no ocurra. Se expresa así:
P(A-B) = P(A) – P(A B)
Problema 25
En una urna hay pelotas rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules numeradas del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una pelota sea roja y no tenga el número 5?
Introducción
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos
ACTIVIDAD I
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue hasta los 40 años, si de acuerdo con una tabla de mortalidad cada 93,745 personas de 25 años de edad solo 87,426 llegan a los 40 años? R= 87,426 / 93,745= 0.9325 La probabilidad es de un 93%
ELABORACIÓN DE UN HISTOGRAMA CONSIDERANDO LAS ESTATURAS DE LOS ALUMNOS DE LA LIC. EN MATEMÁTICA EDUCATIVA.
ESTATURAS ni 156 1 157 1 158 2 160 1 165 2 168 1 169 1 170 1 172 1 174 1 180 1 TOTALES 13
Amplitud del rango
180-156 = 24
13= 3.6 = 4
24/ 4 = 6
Intervalo mi Ni fi Ni Fi
156--162 159 5 5/13=0.384 5 5/13=0.384
162--168 165 2 2/13=0.153 7 7/13=0.538
168--174 171 4 4/13=0.307 11 11/13=0.846
174--180 177 1 1/13=0.076 12 12/13=0.923
180--186 183 1 1/13=0.076 13 13/13=1
Total 13
HISTOGRAMA
ESTATURAS DE ALUMNOS
PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA ABSOLUTA
Introducción a la probabilidad.
En la actualidad vemos que la teoría de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos de negocios. Los seguros y prácticas actuariales se basan firmemente en los principios de la teoría de la probabilidad. Las pólizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad, las cuales a su vez se basan en las probabilidades de muerte en edades específicas. Otras tasas de seguros tales como seguro de bienes raíces y de automóviles se determinan de manera similar. La probabilidad también juega un papel importante en la estimación del número de unidades defectuosas en un proceso de fabricación, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por cobrar y las ventas potenciales de un nuevo producto. Incluso los apostadores profesionales en eventos deportivos deben tener una comprensión sólida de la teoría de la probabilidad.
Problema 1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue a sobrevivir hasta los 40 si de acuerdo con una tabla de mortalidad, de caa 93 745 personas de 25 años de edad sólo 87 426 llegan a los 40 años.
Solución:
Como h=87426
n=93745
Probabilidad S= personas que llegan a los 40 años = 87 426
Total de personas de 25 años 93 745
= 0.9325 (se tomaron cuatro cifras decimales)
Problema 2
En una caja hay 25 tornillos en buen estado y 80 defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de sacar de la caja un tornillo en buen estado?
Solución:
Como h=25
N=80+25
Probabilidad S= Numero de tornillos en buen estado = 25 = 25
Total de tornillos en la caja 25+80 105
=0.2380
Probabilidad en porcentaje = 0.2380 (100) =23.80%
Problema 3
De cada 1000 personas a las que se les practica una revisión médica, 35 tienen problemas de vista. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona examinada tenga alguna enfermedad en los ojos?
Solución:
Como h=35
n= 1000
Probabilidad S = número de personas con problemas de la vista = 35 = 7
Total de personas examinadas 1000 200
Probabilidad en porcentaje = 0.035(100)= 3.5%
Problema 4
En una caja hay 75 canicas azules y 225 rojas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener al azar una canica azul?
Solucion:
Como h= 75
n= 75+225
Probabilidad S= numero de canicas azules = 75 = 75
Total de canicas en la caja 75 + 225 300
=0.25
Probabilidad en porcentaje = 0.25 (100)=25%
CONJUNTO POTENCIA
En matemáticas, dado un conjunto S, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota por P(S) o 2S) al conjunto de todos los subconjuntos de S.
En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia. Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
El conjunto potencia de un conjunto S, junto con las operaciones de la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico de álgebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al álgebra booleana del conjunto potencia de un conjunto finito. Para las álgebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero cada álgebra booleana infinita es sub-álgebra de una álgebra booleana de parte.
INTRODUCCIÓN
La teoría de conjuntos es una rama de la matemática relativamente moderna cuyo propósito es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teoría es reconocida como los fundamentos mismos de las matemáticas. La teoría de conjuntos fue desarrollada por el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones hechas por él mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonométricas de Fourier. La teoría de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de artículos y libros, de los cuales pueden destacarse sus Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.
El propósito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemáticos (Pitágoras, Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado.
PROBLEMA
Conjunto potencia de [ 1,2,3, 4]
S= { }, { 1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {3,2,4}, {4,3,1}, {1,2,3,4}
PROBABILIDAD DE UNA DIFERENCIA
La probabilidad de una diferencia se aplica cuando se quiere obtener la probabilidad de que un suceso determinado ocurra y que simultáneamente otro suceso, también determinado, no ocurra. Se expresa así:
P(A-B) = P(A) – P(A B)
Problema 25
En una urna hay pelotas rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules numeradas del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una pelota sea roja y no tenga el número 5?
Solución:
A: Se extrae pelota roja
B: Sale el número 5
El suceso que nos interesa es A – B. Aplicamos la relación:
P(A – B) =P(A ) – P(A B) Con
P(A)=10/15
P(A B)=1/15 Porque sólo hay una pelota roja marcada con el número 5 del total de las 15 pelotas. Por lo tanto:
P(A-B)=10/15-1/15=9/15 =0.6000 =60%
Otro procedimiento para resolver este problema es revisando la probabilidad como frecuencia relativa , así: Solución :
Espacio muestral
S=[R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, A1, A2, A3, A4, A5] son sucesos
A: La pelota es roja y no es el número 5
A =[R1, R2, R3, R4, R6, R7, R8, R9, R10) SON 9 (no está R5)
P(A)=casos favorables= 9 = 0.60 =60%es el mismo resultado
-------------------- ---
Casos posibles 15 El resultado que obtuvimos con P(A B)=P(A). P(B)=1/15
También lo podemos obtener con las siguientes relaciones:
P(A - B) = P(A B´) =P(B’ A) Problema 26
La probabilidad de que Antonio gane un juego de tenis es de 2/5 y la probabilidad de que Juan gane es de ¼. ¿cuál es la probabilidad de que Antonio gane el torneo en que participa si en el juego final se enfrenta a Juan?
Solución :
Sucesos
A: Gane Antonio
B: Gane Juan
El suceso que nos interesa es que Antonio gane y simultáneamente que Juan pierda. Por tanto, aplicamos la siguiente relación:
P(A B)= P(A y B) = P(A) . P(B)
=2/5[1/4]=2/20 P(A - B) = P(A) – P(A B)
=2/5-2/20=8-2/20=6/20=0.3 =30% Otro procedimiento para resolver este problema consiste en aplicar la siguiente relación:
P(A –B) = P(A) – P(A B) = P(A B´)
P(A –B) = P(A B’)
Con
P(B’) =1-1/4=4/4-1/4=3/4
Sustituimos en:
P(A – B) =P(A B’)
=P(A) . (B)
=[2/5][3/4]=6/20=0.3 =30 %
PROBLEMA 27
A y B son sucesos donde:
P (A )= P (Aᴒ B´)
P (A ) = 3 4 P (B) = 3 8
P (AᴒB ) = P(BᴒA) = 1 8 Calcular
a) P(A´ᴒB)
b) P(AᴒB´)
c) P(Aᴗ B)
d) P(AᴒB´)
Solucion:
Recordando las relaciones de la probabilidad de una diferencia tenemos:
P(A-B) = P(A) – P (AᴒB)
P(A-B) = P(AᴒB´) – P(B´ᴒA)
a) De 2 intercambiamos A y B
P(B-A) = P(BᴒA´B) – P(A´ᴒB)
De 1 intercambiamo A y B:
P(B-A) = P(B) – P(AᴒB)
De 3 y 4:
P(A´ᴒB) = P(B) – P (AᴒB)
= 3/8-1/8 = 2/8 = ¼
b) De 2 P(A-B) = P (AᴒB´)
De 1 P(A-B) = P(A)-P (AᴒB)
Entonces:
P(AᴒB´) = P(A) – P (AᴒB)
= ¾-1/8 = 5/8 c) Sustituimos A por A´en 2:
P(A´-B) = P(A´ᴒB´)
Sustituimos A por A´ en 1:
P(A-´B) = P(A´) –P (A´ᴒB)
De (7) y (8) obtenemos:
P(A´ ᴒB´) = P(A´) – P (A´ ᴒ´B)
P(A´) = 1 – P(A) = 1 = -3/4 =1/4
d)(A´ᴗB) = P(A´) + P(B) –P (A´ᴒB)
Sustituyendo 10 y 5 en 12 tenemos:
P (A´ᴗB) = ¼+3/8-1/4=3/8 CONCLUSION
esta unidad se analizaron los conceptos básicos de probabilidad, y cómo se puede emplear el análisis de probabilidades para proporcionar ionformación útil para la toma de decisiones. • Se analizó la diferencia de la probabilidad aplicándose deque un suceso determinado ocurra y que simultáneamente otro suceso también determinado no ocurra.
Friday, September 30, 2011
Marco Antonio Díaz
INTRODUCCION
La
Probabilidad es un concepto muy amplio, que nos ayuda a tomar
decisiones acertadas de acuerdo a los sucesos presentados. La
probabilidad se encarga de medir la frecuencia con la que se obtiene
un resultado en un proceso aleatorio.
Su estudio
y aplicación es muy extenso debido a que a mediados del siglo XVII y
hasta la fecha se han encontrado grandes aportaciones de personajes,
que son de gran utilidad en áreas como la Matemática, Estadística
Moderna, Física, Química, Filosofía, Biología, Ingeniera etc. Que
aunque no muestre resultado preciso o determinado como se comento con
anterioridad, su investigación nos permite incrementar el grado de
confianza para tomar una optima decisión.
En este
portafolio de evidencias se analizaran ejemplos de algunos tipos de
probabilidad como a continuación se detallan.
El primer ejemplo que se analizara será el de la probabilidad de la
frecuencia relativa, la presentación de un histograma y la expresión
en porcentajes de los casos presentados.
Posteriormente se estudiara un segundo ejemplo donde analizaremos la
probabilidad con base en sucesos compuestos.
Además encontraremos la solución al conjunto potencia donde P = {
1,2,3,4 } donde observaremos todas las posibles combinaciones que se
puedan dar.
Por último se estudiara la Probabilidad de una diferencia,
analizando 3 ejemplos para tener una mejor apreciación de este tema.
I. PROBALIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA
ACTIVIDAD 1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad
llegue hasta los 40, si de acuerdo con una tabla de mortalidad cada
93745 personas de 25 años de edad solo 87426 llegan a los 40 años?
Solución:
Probabilidad
S = Numero de veces que el suceso E1
ocurrió = h
Total de sucesos realizados
n
Como h =
87426
n = 93745
Probabilidad
S = Personas que llegan a los 40 años = 87426
Total de personas de 25 años 93745
= 0.9325
ACTIVIDAD
2
¿Cuál es la probabilidad
de que una persona de 25 años de edad llegue hasta los 40 años, si
de acuerdo con una tabla de mortalidad cada 93745 personas de 25 años
de edad solo 87426 llegan a los 40 años?
R=
87426 / 93745= 0.9325
La
probabilidad es de un 0.9325
ACTIVIDAD
3
ELABORACION
DE UN HISTOGRAMA CONSIDERANDO LAS ESTATURAS DE LOS ALUMNOS DE LA LIC.
EN MATEMATICA EDUCATIVA.
- ESTATURASni15611571158216011652168116911701172117411801Totales13
Amplitud
del rango
180
– 156 = 24
= 3.6 = 4
24/
4 = 6
Intervalo
|
mi
|
ni
|
fi
|
Ni
|
Fi
|
156
– 162
|
159
|
5
|
5/
13 = 0.384
|
5
|
5/
13 = 0.384
|
162
– 168
|
165
|
2
|
2/
13 = 0.153
|
7
|
7/
13 = 0.538
|
168
– 174
|
171
|
4
|
4/
13 = 0.307
|
11
|
11/13=0.846
|
174
– 180
|
177
|
1
|
1/
13 = 0.076
|
12
|
12/13=0.923
|
180
– 186
|
183
|
1
|
1/
13 = 0.076
|
13
|
13/13=1
|
Total
|
13
|
II. PROBABILIDAD CON BASE EN LOS SUCESOS COMPUESTOS. (PROBABILIDAD
AXIOMATICA)
ACTIVIDAD
1
1. Para
participar en la rifa de un reloj, los alumnos de primer año
compraron 18 boletos y los de segundo grado 12 boletos. ¿Cual es la
probabilidad de que un alumno de primero o segundo gane la rifa? Se
imprimieron 50 boletos.
Solución:
A: Un
alumno de primer grado gana el premio.
B: Un
alumno de segundo grado gana el premio
El suceso
que nos interesa es E= A y B son mutuamente excluyentes, es decir, A
ᴖ B = Ø
P (A o B)
= P (A) + P (B) = 18/50 + 12/50 = 30/50 = 3/5 = 0.6
= 60
ACTIVIDAD
2
La tabla
siguiente muestra el nivel de estudios de los profesores de una
escuela.
Escuela Nacional de Maestros
|
Escuela Normal Superior
|
Escuela Normal Privada
|
Especialización en la Universidad
Pedagógica Nacional
|
Hombre
|
Mujer
|
|
M1
|
X
|
X
|
X
|
|||
M2
|
X
|
X
|
X
|
X
|
||
M3
|
X
|
X
|
X
|
|||
M4
|
X
|
X
|
||||
M5
|
X
|
X
|
X
|
|||
M6
|
X
|
X
|
X
|
X
|
||
M7
|
X
|
X
|
X
|
|||
M8
|
X
|
X
|
||||
H1
|
X
|
X
|
X
|
X
|
||
H2
|
X
|
X
|
X
|
|||
H3
|
X
|
X
|
||||
H4
|
X
|
X
|
X
|
X
|
||
H5
|
X
|
X
|
||||
H6
|
X
|
X
|
X
|
|||
H7
|
X
|
X
|
X
|
X
|
||
H8
|
X
|
X
|
||||
H9
|
X
|
X
|
X
|
|||
H10
|
X
|
X
|
X
|
|||
18
|
12
|
6
|
6
|
12
|
10
|
8
|
¿Cual
es la probabilidad de que un alumno le toque un profesor egresado de
la Escuela Nacional de Maestros o que tenga una especialización en
la Universidad Pedagógica Nacional?
Solución:
A:
Profesor egresado de la Escuela Nacional de Maestros
B:
Profesor egresado de la Universidad Pedagógica Nacional
A ᴖ B ≠
Ø Dado que hay docentes que son egresados de ambas instituciones.
Los sucesos no son mutuamente excluyentes.
Entonces:
P (A o B)
= P (A) + P (B) – P (A ᴖ B)
= 12/18 + 12/18 – 8/18 = 16/18 = 0.8888
= 88.88 %
ACTIVIDAD
3
1. DADO EL CONJUNTO S= {1, 2,3,4}, DETERMINA CUALES SUBCONJUNTOS SE
PUEDEN FORMAR.
SOLUCION:
P
{S}= { }, {1}, { 2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4},
{3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {3,2,4}, {4,3,1}, {1,2,3,4}.
III. PROBABILIDAD DE UNA DIFERENCIA
La
probabilidad de una diferencia se aplica cuando se quiere obtener la
probabilidad de que un suceso determinado ocurra y que
simultáneamente otro suceso, también determinado, no ocurra.
Se
expresión así:
P (A –
B) = P (A) – P (A ᴖ B)
Esta
relación se conoce como ley general de sustracción de
probabilidades. También se utilizan las relaciones:
P
( A – B ) = P ( A ) – P ( A ᴖ B ) = P
( A´ ᴖ B )
= P ( B ᴖ A )
( 1 )
P
(A – B) = P (A) – P (A ᴖ
B)
(2)
P
(A´)
– P (A´ ᴖ
B) = P (A´ ᴖ
B´) = P (A´
- B) (3)
ACTIVIDAD
1
En una
urna hay pelotas rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules
numeradas del 1 al 5. ¿Cual es la probabilidad de que al extraer al
azar una pelota sea roja y no tenga el numero 5?
Solución:
A: Se
extrae pelota roja
B: Sale el
numero 5
El suceso
que nos interesa es A – B. Aplicamos la relación:
P (A –
B) = P (A) – P (A ᴖ B)
Con
P (A) =
10/15
P (A ᴖ
B) = 1/15
Porque
solo hay una pelota roja marcada con el número 5 del total de las 15
pelotas.
Por lo
tanto:
P (A –
B) = 10/15 – 1/15 = 9/15
= 0.6000
= 60%
Otro
procedimiento para resolver este problema es revisando la
probabilidad como frecuencia relativa, así:
Solución:
Espacio
maestral
S = {
R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,A1,A2,A3,A4,A5,
} son 15 sucesos
A = La
pelota es roja y no es el numero 5
A = {
R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,
} son 9 ( no está R5 )
P (A) =
Casos favorables = 9 = 0.60 = 60 % es el mismo
resultado
Casos posibles 15
El
resultado que obtuvimos con P (A ᴖ B) = P (A). P (B) = 1/15
También
lo podemos obtener con las siguientes relaciones:
P
(A – B) = P (A ᴖ
B´) = P (B´
ᴖ A)
ACTIVIDAD 2
La
probabilidad de que Antonio gane un juego de tenis es de 2/5 y la
probabilidad de que Juan gane es de 1/4 ¿Cual es la probabilidad
de que Antonio gane el torneo en que participa si en el juego final
se enfrenta a Juan?
Solución:
A: Gane
Antonio
B: gane
Juan
El suceso
que nos interesa es que gane Antonio y simultáneamente que Juan
pierda. Por tanto, aplicamos la siguiente relación:
P (A –
B) = P (A) – P (A ᴖ B). Con P (A) = 2/5, ahora es necesario
calcular P (A ᴖ B)
Como A y B
son sucesos dependientes aplicamos la siguiente relación:
P (A ᴖ
B) = P (A y B) = P (A). P (B)
= 2/5(1/4) = 2/20
P
(A – B) = P (A) – P (A ᴖ B)
= 2/5 – 2/20 =
8 – 2 =
6/20 = 0.3
20
= 30%
Otro
procedimiento para resolver este problema consiste en aplicar la
siguiente relación:
P
(A – B) = P (A) – P (A ᴖ B) = P (A ᴖ
B´)
P (A –
B) = P (A ᴖ B ´)
Con
P (A) =
2/5
P (B´) =
1 – 1/4 = 4/4 – 1/4 = 3/4
Sustituimos
en:
P (A –
B) = P (A ᴖ B´)
= P (A). (B)
= (2/5) (3/4) = 6/20 = 0.3
= 30 %
ACTIVIDAD
3
A y B son
sucesos donde:
P(A) = 3/4
P (B) =
3/8
P (A ᴖ
B) = P (BᴖA) = 1/8
Calcular:
a) P (A´
ᴖ B)
b) P (A ᴖ
B´)
c) P (A u
B)
d) P (A´
ᴖ B´)
Solución:
Recordando
las relaciones de la probabilidad de una diferencia tenemos:
P (A - B)
= P(A) – P (A ᴖ B)
(1)
P
(A - B) = P (A ᴖ
B´) – P (B´
ᴖ A)
(2)
a) De (2)
intercambiamos A y B:
P
(B - A) = P (B ᴖ
A´) – P (A´
ᴖ B)
(3)
De (1)
intercambiamos A y B:
P (B - A)
= P (B) – P (A ᴖ B)
De (3) y
(4):
P (A´ ᴖ
B) = P (B) – P (A ᴖ B)
= 3/8 –
1/8 = 2/8 = 1/4
(5)
b) De (2)
P (A - B) = P (A ᴖ B´)
De (1) P
(A -B) = P(A) – P (A ᴖ B)
Entonces:
P
(A ᴖ B´)
= P (A) – P (A ᴖ B)
= 3/4 – 1/8 = 5/8
(6)
c)
Sustituimos A por A´ en (2):
P (A´ -
B) = P (A´ ᴖ B´)
(7)
Sustituimos
A por A´ en (1):
P (A´ -
B) = P (A´) – P (A´ ᴖ B)
(8)
De (7) Y
(8) obtenemos:
P
(A´ ᴖ
B´) = P (A´)
– P (A´ ᴖ
B) (9)
P
(A´) = 1 – P
(A) = 1 – 3/4 = 1/4
(10)
De
sustituir (5) y (10) en (9) obtenemos:
P (A´ ᴖ
B´) = 1/4 – 1/4 =0
(11)
d) P (A´
u B) = P (A´) + P (B) – P (A´ ᴖ B)
(12)
Sustituyendo
(10) y (5) en (12) tenemos:
P (A´ u
B) = 1/4 + 3/8 – 1/4 = 3/8
CONCLUSION
Se concluye que la probabilidad es universal y que desde tiempos
atrás hasta la actualidad a evolucionado a pasos agigantados, está
presente en las diferentes actividades que día a día realizamos por
ejemplo: juegos de azar, es decir al lanzar una moneda, un dado, en
un juego de lotería, etc.; gracias a estos resultados obtenidos
podemos predecir lo que se quiera lograr, su influencia también se
ve reflejada en ciencias como la Matematica, Estadistica, Filosofia,
Quimica, etc. Ya que atra ves de la medición de la frecuencia de los
distintos resultados presentados en los experimento aleatorios, se
pueden tomar decisiones más eficaces y acertadas para el logro de
objetivos planteados.
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