Problema 25

En una aurna hay pelotas rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules numeradas del 1 al 15. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una pelota sea roja y no tenga el número 5?

Introduccion

Analisis del problema: sabemos que tenemos 10 posibilidades de 25 de sacar una pelota roja y 15 de 25 de que sea azul, es decir 10/25 y 15/25 respectivamente. Pero como nos piden una condicion de que sea roja y no tenga el numero 5.

Entonces se hace este planteamiento:

Sea el evento A: cuando se estrae una pelota roja.

Sea el evento B: si la pelota que se estrajo tiene el numero 5.

 

Desarrollo

Teniendo en cuenta que la probabilidad de que ocurra el evento B es posible si ocurre el evento A, se hace referencia a la relacion P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

Como lo menciono anteriormente la probabilidad de que ocurra el evento A de de 10/15, entonces la probabilidad de que ocurra el segundo evento una vez ocurrido el primero es de 1/15. tomando en cuenta que solo hay una pelota roja marcada con el numero 5 del total de 15 pelotas.

         10

P(A)= ―

         15

                     1

P(A∩B)= ―

             15

Apliacando la relacion para obtener la probabilidad.

                     10     1      9

P(A-B)= ―   - ― =  ― = 0.6000 = 60%

             15    15   15

Conclusion

Cuando se aplicó la anterior relacion,  se nota que es necesario conocer cuando aplicar la intercepcion, en dos conjuntos de datos.

Ahora bien se presenta otra alternativa mas facil, aplicando la frecuencia relativa:

Tomando en cuenta el espacio muestral.

S= {R1, R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 A1 A2 A3 A4 A5}

A: la pelota es roja y no es el numero 5

A= {R1, R2 R3 R4     R6 R7 R8 R9 R10}

                Probabilidad de casos                     9

P(A)=  ――――――――――――――                      =             ―  =  0.60= 60%

Total de casos                                  15  

Problema 26

La probabilidad de que Antonio gane un juego de tenis es de 2/5 y la probabilidad de que Juan gane es de ¼. ¿Cuál es la probabilidad de que Antonio gane el torneo en que participa si en el juego final se enfrenta a Juan?

introduccion

Sea el evento A: gane Antonio

Sea el evento B: gane Juan

Nos damos cuenta que el evento que nos interesa es el evento A, osea el que Antonio gane y Juan Pierda. Aplico la siguiente relacion de intercepcion, tomando en cuenta que implica una multiplicacion.

desarrollo

                     2     1       2

P(A∩B)= ― *  ― =  ―

             5     4     20

P(A-B)=P(A)- P(A∩B)

     2     2       8-2   6

 = ― *  ― =  ―--  =  -     = 0.3 = 30%   

             5     20     20  20

conclusion

Como se ce en el desarrollo del problema, nos damos cuenta de que es una relacion dependiente, es decir para que exista la probabilidad de que Antonio gane Juan tiene que perder.

Problema 27

introduccion

Sea A y B dos sucesos donde la probabilidad de A= ¾ y la probabilidad de B= 3/8. en base a la siguiente relacion:      

                         P(A∩B)=P(B∩A)=1/8

Calcular :

a)      P(A’∩B)

b)      P(A∩B’)

c)       P(AUB)

d)      P(A’UB’)

Desarrollo:

Desarrollando el inciso a)

P(A-B)=P(A)-P(A∩B)             (1)

P(A-B)=P(A∩B’)-P(B’∩A)                   (2)

De (2) intercambiamos A y B

P(B-A)=P(B∩A’)-P(A’∩B)                   (3)      

De (1) intercambiamos A y B

P(B-A)=P(B) -P(A∩B)                        (4)

De (3) y (4):

P(A’∩B)=P(B)-P(A∩B)                      

     3     1       2           1

 = ― -  ― =  ―    =  -     (5)      

              8    8      8        4      

b) de P(A-B)=P(A∩B’)

P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

Igualando estas dos relaciones tenemos

P(A∩B’)=P(A)-P(A∩B)

     3     1       5

 = ― -  ― =  ―                (6)      

              8    8      8                

c) sustituyendo A por A’ en (2)

P(A’-B)=P(A’∩B’)                               (7)

Sustituyendo A por A’ en (1)

P(A’-B)=P(A’)-P(A’∩B)                      (8)

De (7) y (8) se obtiene:

P(A’∩B’)=P(A’)-P(A’∩B)                     (9)

P(A’)=1-P(A)=1-¾ = ¼                    (10)

De sustituir (5) y (10) en (9) se obtiene

P(A’∩B’)= ¼-¼=0                             (11)    

d) P(A’UB)=P(A’)+P(B)-P(A’∩B) (12)

sustituyendo (10) en (12)

P(A’UB)= ¼+3/8-¼=3/8

Conclusion:

Viendo la introduccion del problema se tiene que P(A)¾ , P(B) 3/8 y la intercepcion de estos dos eventos es 1/8.

Cabe aclarar que estos ejercicios también se pueden representar de una forma mas facil para el lector si se utilizan los diagramas de venn.

Evento A:

1/4

2/4

3/4

Evento B:

1/8

2/8

3/8

4/8

5/8

6/8

7/8

8/8

Entonces resolviendo:

 a): El resultado es lo que no esta en A multiplicado por lo que esta en B

b): El resultado es lo que esta en A multiplicado por lo que no esta en B

c): El resultado es lo que esta en A junto con lo que esta en B

d): El resultado es lo que no esta en A multiplicado por lo que no esta en B